漸開線齒輪的齒廓及傳動化

一?、漸開線的形成

如圖6.2a所示，一條直線nn沿一個半徑為r_b的圓的圓周作純滾動，該直線上任一點K的軌跡AK稱為該圓的漸開線。這個圓稱為基圓 ，該直線稱為漸開線的發生線。漸開線上任一點K的向徑OK與起始點A的向徑OA的夾角∠AOK(∠AOK=?_K)稱為漸開線(AK段)的展角。

二、?漸開線的性質

根據漸開線的形成，可知漸開線具有如下性質：

(1)發生線在基圓上滾過的長度等于基圓上被滾過的弧長，即NK=?? ；

(2)因為發生線在基圓上作純滾動，所以它與基圓的切點N就是漸開線上K點的瞬時速度中心，發生線NK就是漸開線在K點的法線，同時它也是基圓在N點的切線；

(3)切點N是漸開線上K點的曲率中心，NK是漸開線上K點的曲率半徑。離基圓越近，曲率半徑越小，如圖6.2a所示，N₁K₁﹤N₂K₂；

(4) 漸開線的形狀取決于基圓的大小。如圖6.2b所示，基圓越大，漸開線越平直，當基圓半徑無窮大時，漸開線為直線；

(5) 基圓內無漸開線。

三、漸開線方程

如圖6.2a所示，漸開線上任一點K的位置可用向徑r_k和展角?_K來表示。若以此漸開線作為齒輪的齒廓，當兩齒輪在K點嚙合時，其正壓力方向沿著K點的法線（NK）方向，而齒廓上K點的速度垂直于OK線。K點的受力方向與速度方向之間所夾的銳角稱為壓力角a_K，由圖可知∠NOK＝a_k。由可見，漸開線齒廓上各點的壓力角值不同，在△NOK中可得出

上式表明，θ_k隨壓力角a_k而改變，稱θ_k為壓力角a_k的漸開線函數，記作inv　a_k，即θ_k＝inv　a_k=tan a_k–a_k, θ_k以弧度（rad）度量。工程上已將不同壓力角的漸開線函數inv　 a_k的值列成表格（表6.2）以備查用。

表6.2　漸開線函數　inv a_k=tan a_k–a_k

四、漸開線齒廓的嚙合特點

一對齒輪傳動是靠主動輪齒廓依次推動從動輪齒廓來實現的。兩輪的瞬時角速度之比稱為傳動比。在工程中要求傳動比是定值。

通常主動輪用“I”表示，從動輪用“2”表示。w₁為主動輪的角速度，w₂為從動輪的角速度，在一般情況下為降速的，故i＞1。上式中i₁₂只表示其大小，而不考慮兩輪的轉動方向。

嚙合特性如下所述：

1、四線合一

如圖6.3所示，一對漸開線齒郭在任意點K嚙合，過K點作兩齒廓的公法線N₁、N₂，根據漸開線性質，該公法線就是兩基圓的內公切線。當兩齒廓轉到K′點嚙合時，過K′點所作公法線也是兩基圓的公切線。由于齒輪基圓的大小和位置均固定，公法線nn是唯一的。因此不管齒輪在哪一點嚙合，嚙合點總在這條公法線上，該公法線也可稱為嚙合線。由于兩個齒輪嚙合傳動時其正壓力是沿著公法線方向的，因此對漸開線齒廓的齒輪傳動來說，嚙合線、過嚙合點的公法線、基圓的內公切線和正壓力作用線的四線合一。該線與連心線0₁0₂的交點P是一固定點，P點稱為節點。

2、中心距可分性

如圖6.3所示，分別以輪心0₁與0₂為圓心，以r′₁＝0₁P與r′₂＝0₂P為半徑所作的圓，稱為節圓。一對漸開線齒輪的嚙合傳動可以看作兩個節圓的純滾動，且u_p1＝u_p2。設齒輪1、齒輪2的角速度分別為w₁和w₂，則

u_p1＝w_1·0₁P＝u_p2＝w_2·0₂P

從圖6.3中可知，△0₁PN₁～0₂PN₂，所以兩輪的傳動比為

由上式可知漸開線齒輪的傳動比是常數。齒輪一經加工完畢，基圓大小就確定了，因此在安裝時若中心距略有變化也不會改變傳動比的大小，此特性稱為中心距可分性。該特性使漸開線齒輪對加工、安裝的誤差及軸承的磨損不敏感，這一點對齒輪傳動十分重要。

3、嚙合角不變

嚙合線與兩節圓公切線所夾的銳角稱為嚙合角，用a′表示，它就是漸開線在節圓上的壓力角。顯然齒輪傳動時嚙合角不變，力作用線方向不變。若傳遞的扭矩不變，其壓力大小也保持不變，因而傳動較平穩。

4、齒面的滑動

如圖6.3所示在節點嚙合時，兩個節圓作純滾動，齒面上無滑動存在。在任意點K嚙合時，由于兩輪在K點的線速度（u_k1、u_k1）不重合，必會產生沿著齒面方向的相對滑動，造成齒面的磨損等。